Problèmes de suites à somme nulle sur les groupes abéliens finis : une approche explicite

À propos

L’objet de cette thèse est l’étude des problèmes de type somme nulle sur des groupes abéliens finis. Ces problèmes présentent un thème de la théorie additive des nombres, aussi appelé la combinatoire additive. Dans une première partie, nous avons étudié la constante de Harborth. Pour G un groupe abélien fini, cette constante notée g(G) est définie comme étant le plus petit entier k tel que tout sous-ensemble de cardinal plus grand ou égal à k admet un sous-ensemble dont le cardinal vaut l’exposant du groupe et dont la somme des éléments est nulle. Nous avons montré que pour n ≠ 3 un nombre premier on a g(C3 ⊕ C3n) = 3n + 3 et pour n = 3 on a g(C3 ⊕ C9) = 13.Dans une deuxième partie, nous avons étudié la constante d’Erdős-Ginzburg-Ziv, notée s(G). Elle est définie de la même manière que la constante de Harborth, en considérant des suites plutôt que considérer des ensembles.Nous avons développé un algorithme permettant de calculer cette constante. Il nous a permis de trouver les résultats suivants s(C2 ⊕ C2 ⊕ C2 ⊕ C4) = 13 et s(C2 ⊕ C2 ⊕ C2 ⊕ C6) = 17 qui étaient auparavant inconnus.

Nous avons adapté cet algorithme pour trouver des résultats pour une constante liée notée η(G).Celle-ci est définie comme la constante Erdős-Ginzburg-Ziv, mais la condition sur la longueur de la sous-suite égale à l’exposant du groupe est remplacée par longueur plus petite ou égale à l’exposant du groupe.Afin de faciliter l’accès aux résultats pour la communauté scientifique, nous avons développé une application web permettant d’accéder aux résultats des constantes mentionnées ci-dessus.



The goal of this thesis is the study of zero-sum problems in finite abelian groups. These problems are a subject of additive number theory or also additive combinatorics.                   
In the first part, we studied the Harborth constant.Let G be a finite abelian group. This constant denoted by g(G) is defined as the smallest integer k such that each subset of G of cardinality at least k has a subset of cardinality exp(G) whose terms sum to 0. We showed that g(C3 ⊕ C3n) = 3n+3 for prime n ≠ 3 and g(C3 ⊕ C9) = 13.In a second part, we studied the Erdős-Ginzburg-Ziv constant, denoted s(G).It is defined in the same way as the Harborth constant, considering sequences rather than considering sets.We have developed an algorithm to compute this constant. It allowed us to find the following results s(C2 ⊕ C2 ⊕ C2 ⊕ C4) = 13 and s(C2 ⊕ C2 ⊕ C2 ⊕ C6) = 17 that were previously unknown.
We adapted this algorithm to find results for a related constant denoted η(G).This is defined as the Erdős-Ginzburg-Ziv constant, but the condition on the length of the sub-sequence to be equal to the exponent of the group is replaced by length to be smaller than or equal to the exponent of the group.To facilitate access to the results for the scientific community, we have developed a web application to access the values of the constants mentioned above.